목차
1. 표준형
카르노맵을 하기전에 중요한 MinTerm과 MaxTerm을 알고 넘어가야합니다.
그전에, 한번 표준형과 정형을 잠깐 보고 가도록 하겠습니다.
1-1. 표준형<Standard Form>
어떤 함수가 SOP 형태, POS 형태로 나타나게 되면 그러한 함수를 표준형이라고 합니다.
여기서 SOP란 Sum of Product를 나타내며 POS란 Product of Sum을 나타냅니다.
무슨 의미인지는 바로 예시로 알아보도록 하겠습니다.
\(F=AB+A{C}'\)를 한번 보도록 합시다.
이 그림이 당연하게 그려져야 합니다. 만약 이해가 안된다면 https://suff07.tistory.com/18 여기 링크에서 복습을 해주시면 되겠습니다~
그림에서 표현되는 끝단이 level1이고 중간이 level2죠?
이것이 SOP형태입니다.
이번에는 \(F=(B+C)(A+{B})'\)를 보도록 하겠습니다.
자 그러면 이번에는 Level1이 Product이고 Level2가 Sum입니다.
이것을 Product Of Sum,이것이 POS 형태입니다.
2. Minterm과 Maxterm
2-1. Minterm<최소항>
정형<Canonical Form>을 살펴보기 전에 알고 넘어가야 할 사항이 있습니다.
바로 Minterm과 MaxTerm에 관한건데요.
Minterm이란 모든 변수가 한번씩 나타나 곱(AND연산)의 형태를 이루는것을 의미합니다.
무슨 의미인지 잘 모르겠죠? 벤 다이어그램으로 빠르게 보도록 합시다.
| A | B | C | MinTerm | Diagram |
| 0 | 0 | 0 | \({A}' \cdot {B}' \cdot {C}' =m0 \) |  |
| 0 | 0 | 1 | \({A}' \cdot {B}' \cdot C =m1\) |  |
| 0 | 1 | 0 | \({A}' \cdot B \cdot {C}' =m2 \) |  |
| 0 | 1 | 1 | \({A}' \cdot B\cdot C =m3\) |  |
| 1 | 0 | 0 | \(A \cdot {B}' \cdot {C}' =m4\) |  |
| 1 | 0 | 1 | \( A \cdot {B}' \cdot C =m5 \) |  |
| 1 | 1 | 0 | \( A \cdot B \cdot {C}' =m6\) |  |
| 1 | 1 | 1 | \( A \cdot B\cdot C =m7 \) |  |
이는 Venn Diagram의 최소 독립 영역을 나타내기도 합니다.
2-2. Maxterm<최대항>
다음으로 MaxTerm에 대해 알아봅시다.
모든변수가 한 번씩 나타나 합(즉 OR게이트)의 형태를 이루고, 그 변수들이 true 혹은 false의 형태를 취하게되는 경우를 MaxTerm이라고 합니다.
이번에도 벤다이어그램으로 빠르게 보도록 합시다.
| A | B | C | MaxTerm | Diagram |
| 1 | 1 | 1 | \(A+ B+ C =M0 \) |  |
| 1 | 1 | 0 | \(A + B + {C}' =M1 \) |  |
| 1 | 0 | 1 | \(A + {B}' + C =M2 \) |  |
| 1 | 0 | 0 | \(A + {B}' + {C}' =M3 \) |  |
| 0 | 1 | 1 | \({A}' + B + C =M4\) |  |
| 0 | 1 | 0 | \({A}' + B + {C}' =M5 \) |  |
| 0 | 0 | 1 | \({A}' + {B}' + C =M6 \) |  |
| 0 | 0 | 0 | \({A}' + {B}' + {C}' =M7 \) |  |
2-3. Minterm과 Maxterm의 특징, 요약
여기서 재미있는 사실은 MaxTerm과 MinTerm은 서로 보수관계입니다.
그러니까 Minterm에서 0*0*0(그러니까 테이블상에서 첫번째줄인 m0)과 Maxterm에서 1*1*1(테이블상에서 첫번째 줄인 M0) 을 한번 합쳐보시면 모든 영역이 칠해진다는 사실을 알 수 있습니다.
이렇게 말이지요!
마찬가지로 Minterm 테이블에서 7번째 줄과 MaxTerm 2번째 줄의 밴 다이어그램을 합쳐보면 모든 영역을 포함시킨다는 의미가 나옵니다.
또 하나 중요한 사실은, MinTerm과 MaxTerm 모두 \(2^{n}\)의 경우의 수가 나온다는 점입니다.
그러니까 입력신호가 3개인 위의 경우는 8가지의 경우의 수가 나온다는 거죠
아래 표는 위의 내용을 요약한 자료입니다.
3. 정형<Canonical Form>
3-1.SOM<Sum Of Minterm>
정형은 표준형 함수의 특수한 케이스로서 SOP \(\texttt{(Sum Of Product)}\) 중에서 더해지는 곱들이 모두 Minterm의 형태를 띈다면 이를 SOM \(\texttt{(Sum Of Minterm)}\) 즉 최소항의 합이라 합니다.
이걸 말로만 들으면 도무지 감이 안 잡히죠? 빠르게 예시를 들어서 알아봅시다.
\(F=ABC+A{B}'C+ {A}'BC \)를 생각해봅시다.
여기서 \(ABC\)와 \(A{B}'C\), \({A}'BC\) 모두 Minterm 테이블에 존재했었지요?
Minterm 테이블 상에 존재하는 8가지 요소로 덧셈을 표현한다면 그게 바로 SOM이라 이 말입니다!
\(F=ABC+A{B}'C+ {A}'B \) 이 녀석은 어떨까요?
여기서 \(ABC\)와 \(A{B}'C\)만 Minterm 테이블에 존재했었지요?
\({A}'B\) 얘는 없었으니까 SOP인데 SOM은 아닙니다.
그리고 \(F=ABC+A{B}'C+ {A}'BC\) 이 식은 다르게 말하면 \(F= m7 + m5 + m3 \)로도 표현이 가능합니다.
이를 앞으로는 \(F = \sum m(3,5,7) \)로 표현하겠습니다.
3-2.POM<Product Of Maxterm>
정형은 표준형 함수의 특수한 케이스로서 POS \(\texttt{(Product Of Sum)}\) 중에서 더해지는 곱들이 모두 MaxTerm의 형태를 띈다면 이를 POM \(\texttt{(Product Of Maxterm)}\) 즉 최대항의 곱이라 합니다.
이번에도 빠르게 예시를 들어서 알아봅시다.
\(F=(A+B+C) (A+B+{C}') (A+{B}'+C)\)를 생각해봅시다.
여기서 \( (A+B+C) \)와 \( (A+B+{C}') \), \( (A+{B}'+C) \) 모두 Maxterm 테이블에 존재했었지요?
Maxterm 테이블 상에 존재하는 8가지 요소로 곱셈을 표현한다면 그게 바로 POM입니다.
그리고 \(F=(A+B+C) (A+B+{C}') (A+{B}'+C)\) 이 식은 다르게 말하면 \(F= M0 * M1 * M2 \)로도 표현이 가능합니다.
이를 앞으로는 \(F = \prod M(1,2,3) \)로 표현하겠습니다.
또 중요한 사실은 MaxTerm과 Minterm은 서로 보수관계라고 아까 이야기 했습니다.
고로, \(F = \sum m(0,1,2) \)와 \(F = \prod M(3,4,5,6,7) \) 은 서로 같은 관계입니다.
한번 증명을 해보고 마무리 해보도록 하겠습니다.
\({F}' = {X}'{Y}'+ XY \)라는 것을 한번 살펴보도록 하죠.
먼저 밴다이어그램으로 보도록 하겠습니다.
| X | Y | Minterm | diagram |
| 0 | 0 | \( {X}^c \cap {Y}^c \)=m0 |  |
| 1 | 0 | \( X \cap {Y}^c \)=m1 |  |
| 0 | 1 | \( {X}^c \cap Y \)=m2 |  |
| 1 | 1 | \( X \cap Y \)=m3 |  |
| X | Y | Maxterm | diagram |
| 0 | 0 | \( {X}^c \cup {Y}^c \)=M0 |  |
| 1 | 0 | \( X \cup {Y}^c \)=M1 |  |
| 0 | 1 | \( {X}^c \cup Y \)=M2 |  |
| 1 | 1 | \( X \cup Y \)=M3 |  |
\({F}' = {X}'{Y}'+ XY \)는 \({F}' = m0+ m3 \)로 표현이 가능합니다.
\({({F}' = {X}'{Y}'+ XY)}' \)를 취하게 되면 \(F = {({X}'{Y}')}'*{(XY)}' \)로 취할수 있습니다.
<이해가 안되면 지난번 드모르간의 법칙을 참조해주세요.>
이는 즉 \(F = {m0}'{m3}' \)로 바꿀수 있습니다.
그리고 밴다이어그램을 참고해서 바꿔보면 \(F = {M0}{M3} \) 로 바꿀 수 있습니다.
4.요약정리
- 표준형이란 어떤 함수가 SOP형태(F=AB+AC)나 POS(F=(A+B)*(A+C))로 나타낼수 있는 경우를 의미한다.
- MinTerm은 모든변수가 한번씩 곱의 형태를 이룬다.
- MaxTerm은 모든변수가 한번씩 합의 형태를 이룬다.
- MaxTerm과 MinTerm은 서로 보수의 관계이다.
- SOM는 표준형의 특수한 형태로써 Minterm으로 표현할 수 있는 합의 형태이다.
- POM은 표준형의 특수한 형태로써 MaxTerm으로 표현할 수 있는 곱의 형태이다.
- SOM과 POM은 서로 보수의 관계이다.
'CS 이론 > 디지털 논리회로' 카테고리의 다른 글
| 디지털 논리회로 5부<카르노 맵 2,3변수> (0) | 2024.01.29 |
|---|---|
| 디지털 논리회로 4.5부<그레이 코드,3 초과 코드> (0) | 2024.01.26 |
| 디지털 논리회로 3부<드모르간의 법칙> (0) | 2024.01.24 |
| 디지털 논리회로 2부 <Boolean과 게이트들> (0) | 2024.01.24 |
| 디지털 논리회로 1부 (0) | 2024.01.16 |
